M2 Info Paris 7
Modélisation - Examen 2011-2012
éléments de corrections (non officiels)


== Exercice 1 ==


 ** Question 1 **


1) (☐◊P) ∧ (☐◊Q)	(avec ou sans parenthèses)


2) ☐◊(P∧Q)		(parenthèses obligatoires ici)


3)
☐(P⇒◊(H ∧ ◊Q))
si on considère que ça n'est pas forcement le 1er Q après le P qui doit être précédé d'un H, et que H et Q peuvent arriver en même temps

☐(P⇒◊(H ∧ o◊Q))
si on considère que Q doit arriver STRICTEMENT après H (pas le même jour)

☐(P⇒(◊Q ∧ (¬Q)uH))	
si on considère que c'est forcement le 1er Q après le P qui doit être précédé d'un H
traduction cette dernière formule : "toujours, si on trouve un P, à partir de là (1) on trouvera Q un jour ET (2) on ne trouvera pas de Q tant qu'on a pas trouvé de H"

etc, cette phrase laissait place à de nombreuses interprétations
elles étaient probablement toutes admissibles dès lors que l'interprétation choisie était expliquée


4)
en d'autres termes "Q ne peut pas devenir vrai avant P"
ou encore "soit on a jamais de Q, soit on a pas de Q jusqu'à ce qu'on ait un P"
ce qui donne (☐¬Q) ∨ ((¬Q)uP)

et si on veut que P arrive strictement avant Q (P et Q ne deviennent pas vrai en même temps) on peut aussi écrire
(☐¬Q) ∨ ((¬Q)u(P∧¬Q))	
(on ajoute la condition que le jour où P deviendra vrai Q sera encore faux)




 ** Question 2 **


1)
"sur tous les chemins et toujours, si on rencontre un P, il existera un chemin où on trouvera Q UN JOUR"
∀☐(P ⇒ ∃◊Q)


2)
"sur tous les chemins et toujours, si on rencontre un P, il existera un chemin où on trouvera Q TOUJOURS"
∀☐(P ⇒ ∃☐Q)


3)
"il existe un chemin où un jour (1) P est vrai et (2) sur tous les chemins, toujours, on trouvera un jour Q dans toutes les directions"
∃◊(P ∧ ∀☐∀◊Q)
(équivalent à "∃◊(P ∧ ∀☐∃◊Q)")




 ** Question 3 **

 1) Faux
contre-exemple : ---Q----P--->
ici la 1ère formule est vraie : un jour on trouve P et un jour on trouve Q
mais pas la 2nde : on ne peut pas trouver un jour avec (1) P vrai et (2) Q vrai dans le futur

 2) Faux
contre-exemple : ---Q----P--->
la 1ère formule est vraie (idem point 1)
mais pas la 2nde : il n'existe pas un jour avec P et Q vrais tous les 2

 3) Vrai
les 2 formules imposent simplement qu'on trouve un P ou un Q quelque part sur la séquence
autre justification possible : le "un jour" peut se distribuer avec le "ou"
(de même que le "toujours" peut se distribuer avec le "et", voir point 10)

 4) Vrai
la partie "☐◊Q" peut se traduire par "il y a une infinité de Q"
donc si cette affirmation est vraie à un moment elle est vraie tout le temps
donc peu importe qu'elle soit vraie au début (formule 1) ou à partir d'un moment où P est vrai (formule 2) : c'est équivalent

 5) Faux

 6) Faux

 7) Faux

 8) Vrai

 9) Faux

10) Vrai

11) Faux

12) Vrai